Question

5．求函数y=9^x-m•3^x+1，x∈（0，2]的值域A．（用区间表示）

Answer 1

分析 配方法化简y=9^x-m•3^x+1=（3^x-$\frac{m}{2}$）²+1-$\frac{{m}^{2}}{4}$，从而讨论对称轴以确定函数的值域．

解答 解：y=9^x-m•3^x+1=（3^x-$\frac{m}{2}$）²+1-$\frac{{m}^{2}}{4}$，
∵x∈（0，2]，∴3^x∈（1，9]；
当m≤2时，1-m+1＜9^x-m•3^x+1≤81-9m+1，
即A=（2-m，82-9m]；
当2＜m≤10时，
1-$\frac{{m}^{2}}{4}$≤9^x-m•3^x+1≤81-9m+1，
即A=[1-$\frac{{m}^{2}}{4}$，82-9m]；
当10＜m≤18时，
1-$\frac{{m}^{2}}{4}$≤9^x-m•3^x+1＜2-m，
即A=[1-$\frac{{m}^{2}}{4}$，2-m）；
当m＞18时，
81-9m+1≤9^x-m•3^x+1＜1-m+1，
即A=[82-9m，2-m]．

点评 本题考查了二次函数的应用及配方法与整体代换法的应用，同时考查了分类讨论的思想应用．