Question

（本题满分10分）设，是否存在整式，使得
对n≥2的一切自然数都成立?并试用数学
归纳法证明你的结论.

Answer 1

略

解：假设存在整式，使得对n≥2的一切自然数都成立,则
当n=2时有,又∵,∴;
当n=3时有,又∵,
∴;……, 猜想：g(n)=n(n≥2),
下面用数学归纳法加以证明：
(1)当n=2时，已经得到证明.
(2)假设当n=k(k≥2，k∈N)时，结论成立,即
存在g(k)=k，使得对k≥2的一切自然数都成立成立.则当n=k+1时，
,
又∵∴,
∴,
∴当n=k+1时，命题成立.
由(1)(2)知,对一切n(n≥2,n∈N^*)有=n，使得
都成立.