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设函数f(x)=ax-
bx
,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.
分析:(1)已知曲线上的点,并且知道过此点的切线方程,容易求出斜率,又知点(2,f(2))在曲线上,利用方程联立解出a,b
(2)可以设P(x0,y0)为曲线上任一点,得到切线方程,再利用切线方程分别与直线x=0和直线y=x联立,得到交点坐标,接着利用三角形面积公式即可.
解答:解析:(1)方程7x-4y-12=0可化为y=
7
4
x-3
,当x=2时,y=
1
2

f(x)=a+
b
x2
,于是
2a-
b
2
=
1
2
a+
b
4
=
7
4
,解得
a=1
b=3
,故f(x)=x-
3
x


(2)设P(x0,y0)为曲线上任一点,由y=1+
3
x2
知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(1+
3
x02
)(x-x0)
,即y-(x0-
3
x0
)=(1+
3
x02
)(x-x0)

令x=0,得y=-
6
x0
,从而得切线与直线x=0的交点坐标为(0,-
6
x0
)

令y=x,得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0);
所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为
1
2
|-
6
x0
||2x0|=6

故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为定值,此定值为6.
点评:高考考点:导数及直线方程的相关知识
易错点:运算量大,不仔细而出错.
备考提示:运算能力一直是高考考查的能力之一,近年来,对运算能力的要求降低了,但对准确率的要求提高了.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=ax+
a+1
x
 
(a>0)
,g(x)=4-x,已知满足f(x)=g(x)的x有且只有一个.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若f(x)+
m
x
>1
对一切x>0恒成立,求m的取值范围;
(Ⅲ)若函数h(x)=k-f(x)-g(x)(k∈R)在[m,n]上的值域为[m,n](其中n>m>0),求k的取值范围.

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设函数f(x)=ax-
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,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0,
(1)求y=f(x)的解析式,并求其单调区间;
(2)用阴影标出曲线y=f(x)与此切线以及x轴所围成的图形,并求此图形的面积.

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ax-1x+1
;其中a∈R

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bx
,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)讨论函数f(x)的单调性.

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bx
,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的单调区间.

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