Question

9．函数f（x）满足：对?x∈R⁺都有f′（x）=$\frac{3}{x}$f（x），且f（2²⁰¹⁶）≠0，则$\frac{f（{2}^{2017}）}{f（{2}^{2016}）}$的值为（　　）

• A． 0.125
• B． 0.8
• C． 1
• D． 8

Answer 1

分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，得到f（x）=cx³，代值计算即可．

解答 解：∵f′（x）=$\frac{3}{x}$f（x），
∴xf′（x）-3f（x）=0，
设g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，
∴g′（x）=$\frac{{x}^{3}f′（x）-3{x}^{2}f（x）}{{x}^{6}}$=$\frac{{x}^{2}[xf′（x）-3f（x）]}{{x}^{6}}$=0，
∴g（x）=c，（c常数），
∴f（x）=cx³，
∴$\frac{f（{2}^{2017}）}{f（{2}^{2016}）}$=$\frac{c（{2}^{2017}）^{3}}{c（{2}^{2016}）^{3}}$=2³=8，
故选：D

点评 本题考查了导数的运算和函数值的求法，关键是构造函数，属于中档题