Question

（1）在平面直角坐标系xOy中，判断曲线C：

x=2cosθ y=sinθ

（θ为参数）与直线l：

x=1+2t y=1-t

（t为参数）是否有公共点，并证明你的结论．
（2）已知a＞0，b＞0，a+b=1，求证：

1

2a+1

+

4

2b+1

≥

9

4

．

Answer 1

分析：（1）将参数方程化为普通方程，再将直线方程代入椭圆方程，利用方程的判别式，可得结论；
（2）证法一：因为a＞0，b＞0，a+b=1，所以（

1

2a+1

+

4

2b+1

）[（2a+1）+（2b+1）]，再利用基本不等式，可得结论；
证法二：因为a＞0，b＞0，（

1

2a+1

+

4

2b+1

）[（2a+1）+（2b+1）]，由柯西不等式可证结论．

解答：（1）解：直线l的普通方程为x+2y-3=0．                 …（3分）
曲线C的普通方程为x²+4y²=4．                     …（3分）
由方程组

x+2y-3=0 x2+4y2=4

得8y²-12y+5=0
因为△=-16＜0，所以曲线C与直线l没有公共点．       …（4分）
（2）证法一：因为a＞0，b＞0，a+b=1，
所以（

1

2a+1

+

4

2b+1

）[（2a+1）+（2b+1）]
=1+4+

2b+1

2a+1

+

4(2a+1)

2b+1

          …（5分）
≥5+2

2b+1 2a+1 × 4(2a+1) 2b+1

=9．   …（3分）
而（2a+1）+（2b+1）=4，所以

1

2a+1

+

4

2b+1

≥

9

4

．　…（2分）
证法二：因为a＞0，b＞0，由柯西不等式得
（

1

2a+1

+

4

2b+1

）[（2a+1）+（2b+1）]…（5分）
≥（

1 2a+1 ×(2a+1)

+

4 2b+1 ×(2b+1)

）²=（1+2）²=9．                  …（3分）
由a+b=1，得 （2a+1）+（2b+1）=4，
所以

1

2a+1

+

4

2b+1

≥

9

4

．　                      …（2分）

点评：本题考查参数方程，考查不等式的证明，解题的关键是化参数方程为普通方程，正确运用基本不等式与柯西不等式，属于中档题．