Question

【题目】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=AD，点M在线段EF上。

(1)求证：BC⊥平面ACFE；

(2)若，求证：AM∥平面BDF.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）由已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，易求出AC⊥BC，结合已知中平面ACFE⊥平面ABCD，及平面与平面垂直的性质定理，即可得到BC⊥平面ACFE．

（2）设ACBD=N，则CN：NA=1：2，结合条件可得MF∥AN，且MF=AN，从而得到AM∥NF，由线面平行的判定定理可得结论.

(1)在梯形ABCD中，∵AB∥CD，

AD=CD=CB=a，∠ABC=60°

∴四边形ABCD是等腰梯形

且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120°

∴∠ACB=∠DCB-∠DCA=90°

∴AC⊥BC

又∵平面ACFE⊥平面ABCD，交线为AC，

∴BC⊥平面ACFE.

(2)在梯形ABCD中，设ACBD=N，连接FN，则CN：NA=1：2

又∵EM：MF=1：2，而EF=AC

∴MF∥AN，且MF=AN

∴四边形ANFM是平行四边形，

∴AM∥NF

又∵NF平面BDF，AM平面BDF

∴AM∥平面BDF.