Question

如图，在四棱锥中，顶点在底面内的射影恰好落在的中点上，又，且

（1）求证：；
（2）若，求直线与所成角的余弦值；
（3）若平面与平面所成的角为，求的值。

Answer 1

（1）利用两直线的方向向量垂直证明线线垂直；（2）；（3）．

试题分析：因为AB中点O为点P在平面ABCD内的射影，所以PO⊥底面ABCD．以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系o﹣xyz（如图）．

（1）设BC=a，OP=h则依题意得：B（a，0，0），A（﹣a，0，0），P（0，0，h），C（a，a，0），D（﹣a，2a，0）．
∴=（2a，a，0），=（﹣a，2a，﹣h），
于是•=﹣2a²+2a²=0，∴PD⊥AC； 4分
（2）由PO=BC，得h=a，于是P（0，0，a），5分
∵=（2a， 0，0），=（﹣a，2a，﹣a），
∴•=﹣2a²，cos＜，＞==，
∴直线PD与AB所成的角的余弦值为； -8分
（3）设平面PAB的法向量为m，可得m=（0，1，0），
设平面PCD的法向量为n=（x，y，z），
由=（a，a，﹣h），=（﹣a，2a，﹣h），
∴，解得n=（1，2，），∴m•n=2，
cos＜m，n＞=，∵二面角为60°，∴=4，
解得=，即=．       12分
点评：运用向量在解决立体几何问题主要集中在法向量的应用上，它可以证明空间线面的位置关系、求解空间角、距离.同时运用空间向量解答立体几何问题，淡化了传统立体几何中的“形”的推理方法，强化了代数运算，从而降低了思维难度