【题目】设函数, 为曲线在点处的切线.
(Ⅰ)求的方程.
(Ⅱ)当时,证明:除切点之外,曲线在直线的下方.
(Ⅲ)设, , ,且满足,求的最大值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)见解析(Ⅲ).
【解析】试题分析:(Ⅰ)先求导,再求的值,根据导数的几何意义可知切线的斜率即为.由点斜式可得直线方程.(Ⅱ)即证明, 恒成立.变形可得即证恒成立即可.令求导,讨论导数的正负,根据导数的正负可得函数的单调性.根据单调性可求其最值,其最大值小于0即可.(Ⅲ)当且时由(Ⅱ)可知.当中至少有一个大于等于时,可用配方法求各自值域再相加.
试题解析:解:(Ⅰ) .
所以.
所以 L的方程为,即. 3分
(Ⅱ)要证除切点之外,曲线C在直线L的下方,只需证明, 恒成立.
因为,
所以只需证明, 恒成立即可. 5分
设
则.
令,解得, . 6分
当在上变化时, 的变化情况如下表
所以, 恒成立. 8分
(Ⅲ)(ⅰ)当且时,
由(Ⅱ)可知: ,
, .
三式相加,得.
因为,
所以,且当时取等号. 11分
(ⅱ)当中至少有一个大于等于时,
不妨设,则,
因为, ,
所以.
综上所述,当时取到最大值. 14分
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【题目】为了研究“教学方式”对教学质量的影响,某高中老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学(勤奋程度和自觉性都一样).如图茎叶图为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩.
(1)现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学,求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率;
(2)学校规定:成绩不低于75分的为优秀,请填写列联表,并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.
甲班 | 乙班 | 合计 | |
优秀 | |||
不优秀 | |||
合计 |
参考公式与临界值表: .
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,已知曲线,将曲线上的点向左平移一个单位,然后纵坐标不变,横坐标轴伸长到原来的2倍,得到曲线,又已知直线(是参数),且直线与曲线交于两点.
(I)求曲线的直角坐标方程,并说明它是什么曲线;
(II)设定点,求.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】选修4—5: 不等式选讲
已知函数f(x)= 的定义域为R.
(Ⅰ)求实数m的取值范围;
(Ⅱ)若m的最大值为n,当正数a,b满足 =n时,求7a+4b的最小值.
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【题目】椭圆: 的离心率为,过其右焦点与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点, .
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设椭圆的左顶点为,右顶点为,点是椭圆上的动点,且点与点, 不重合,直线与直线相交于点,直线与直线相交于点,求证:以线段为直径的圆恒过定点.
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