Question

（2013•南京二模）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：

x2

4

-

y2

3

=1．设过点M（0，1）的直线l与双曲线C交于A、B两点，若

AM

=2

MB

，则直线l的斜率为

±

1

2

．

Answer 1

分析：设直线AB方程为y=kx+1，与双曲线方程联解得（3-4k²）x²-8kx-16=0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根与系数的关系可得x₁+x₂=

8k

3-4k2

且x₁x₂=

-16

3-4k2

，根据

AM

=2

MB

得x₁=-2x₂，将三个式子联解，即可得到直线l的斜率．

解答：解：设直线AB方程为y=kx+1，与双曲线

x2

4

-

y2

3

=1消去y，
得（3-4k²）x²-8kx-16=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由根与系数的关系，得

x1+x2= 8k 3-4k2 x1x2= -16 3-4k2

…（1）
∵

AM

=2

MB

，可得x₁=-2x₂，∴代入（1）得

-x2= 8k 3-4k2 -2x22= -16 3-4k2

，
消去x₂得-2（

8k

3-4k2

）²=

-16

3-4k2

，解之得k²=

1

4

，得k=±

1

2

故答案为：±

1

2

点评：本题给出经过点M（0，1）的直线l交双曲线于AB两点，在已知

AM

=2

MB

的情况下求直线的斜率．着重考查了双曲线的标准方程、简单几何性质和直线与双曲线位置关系等知识，属于中档题．