Question

已知实系数方程x²+（m+1）x+m+n+1=0的两个实数根分别是x₁，x₂，且0＜x₁＜1，x₂＞1，则u=

m2+n2

mn

的取值范围是（　　）

• A．(-

  5

  2

  ，-2]
• B．（-∞，-2]
• C．(-

  5

  2

  ，-2)
• D．(-

  5

  2

  ，0)

Answer 1

分析：首先根据所给的一元二次方程的根的范围，表示出m，n之间的关系，得到不等式组，画出可行域，求出

n

m

的范围，做出它的倒数的范围，根据基本不等式表示出最大值，得到结果．

解答：解：令f（x）=x²+（m+1）x+m+n+1，
由题意0＜x₁＜1，x₂＞1，知，

f(0)＞0 f(1)＜0

即

m+n+1＞0 2m+n+3＜0

不等式组表示区域如图阴影部分．

n

m

表示点P（m，n）与原点连线的斜率．
∴-2＜

n

m

＜-

1

2

，
-2＜

m

n

＜-

1

2

，
∵

m

n

与

n

m

的符号是负数，得到根据基本不等式知

m

n

+

n

m

≤-2
∵

m

n

与

n

m

取得最值的时候正好相反，即一个取得最大值时，另一个取得最小值，
∵u=

m2+n2

mn

=

n

m

+

m

n

∈(-

5

2

，-2]
故选A．

点评：本题考查线性规划的应用，考查基本不等式求最值，考查一元二次方程的根与系数的关系，本题解题的关键是对所给的代数式变形整理，再根据线性规划得到要用的范围，本题是一个中档题目．