Question

如图，在Rt△AOB中，∠OAB=

π

6

，斜边AB=4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角．动点D在斜边AB上．
（1）求证：平面COD⊥平面AOB；
（2）设CD与平面AOB所成角的最大值为α，求tanα值．

Answer 1

分析：（1）利用二面角的定义、线面与面面垂直的判定与性质即可得出；
（2）利用线面角的定义及其含30°角的直角三角形的边角关系即可得出．

解答：证明：（1）由已知CO⊥AO，BO⊥AO，
∴∠BOC是二面角B-AO-C的平面角，
∴∠BOC=

π

2

，∴OC⊥OB．
∵OA∩OB=O，∴OC⊥平面AOB，
∴平面COD⊥平面AOB；
（2）由（1）可知CO⊥平面OAB，∴∠CDO是CD与平面AOB所成的角．
∴tan∠CDO=

CO

OD

，
∵OC=OB=2，
∴当OD⊥AB时，OD取得最小值=OB•sin60°=

3

，此时∠CDO取得最大值α，
且tanα=

2

3

=

2 3

3

．

点评：熟练掌握二面角的定义、线面与面面垂直的判定与性质、线面角的定义及其含30°角的直角三角形的边角关系是解题的关键．