Question

在直角△ABC中，两条直角边分别为a，b斜边和斜边上的高分别为c，h，则

c+h

a+b

的最大值为

 

．

Answer 1

分析：如图所示，设A=θ，h=bsinθ，a=btanθ，c=

b

cosθ

．可得

c+h

a+b

=

b cosθ +bsinθ

btanθ+b

=

1+sinθcosθ

sinθ+cosθ

，令sinθ+cosθ=t，则t=

2

sin(θ+

π

4

)，可得1＜t≤

2

，1+2sinθcosθ=t²，于是sinθcosθ=

t2-1

2

．可得

c+h

a+b

=

1+ t2-1 2

t

=

t2+1

2t

．令f（t）=

t2+1

2t

，利用导数即可得出．

解答：解：如图所示，
设A=θ，h=bsinθ，a=btanθ，c=

b

cosθ

．
∴

c+h

a+b

=

b cosθ +bsinθ

btanθ+b

=

1+sinθcosθ

sinθ+cosθ

，
令sinθ+cosθ=t，则t=

2

sin(θ+

π

4

)，
∵θ∈(0，

π

2

)，∴(θ+

π

4

)∈(

π

4

，

3π

4

)，∴

2

2

＜sin(θ+

π

4

)≤1，
∴1＜t≤

2

．
由sinθ+cosθ=t，可得1+2sinθcosθ=t²，
∴sinθcosθ=

t2-1

2

．
∴

c+h

a+b

=

1+ t2-1 2

t

=

t2+1

2t

．
令f（t）=

t2+1

2t

，
则f′（t）=

t2-1

2t

＞0．
∴f（t）在t∈(1，

2

]单调递增，
∴当t=

2

时，f（t）取得最大值，f(

2

)=

2+1

2 2

=

3 2

4

．
故答案为：

3 2

4

．

点评：本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的平方关系、三角函数的单调性、利用导数研究函数的单调性、换元法等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．