Question

【题目】已知函数f（x）=alnx+b（a，b∈R），曲线f（x）在x=1处的切线方程为x﹣y﹣1=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）证明： ；
（Ⅲ）已知满足xlnx=1的常数为k．令函数g（x）=mex+f（x）（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…），若x=x0是g（x）的极值点，且g（x）≤0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）的导函数 ，

由曲线f（x）在x=1处的切线方程为x﹣y﹣1=0，知f'（1）=1，f（1）=0，

所以a=1，b=0．

（Ⅱ）令 = ，则 = ，

当0＜x＜1时，u'（x）＜0，u（x）单调递减；当x＞1时，u'（x）＞0，u（x）单调递增，

所以，当x=1时，u（x）取得极小值，也即最小值，该最小值为u（1）=0，

所以u（x）≥0，即不等式 成立．

（Ⅲ）函数g（x）=mex+lnx（x＞0），则 ，

当m≥0时，g'（x）＞0，函数g（x）在（0，+∞）内单调递增，g（x）无极值，不符合题意；

当m＜0时，由 ，得 ，

结合y=ex， 在（0，+∞）上的图象可知，关于x的方程 一定有解，其解为x0（x0＞0），且当0＜x＜x0时，g'（x）＞0，g（x）在（0，x0）内单调递增；

当x＞x0时，g'（x）＜0，g（x）在（x0，+∞）内单调递减．

则x=x0是函数g（x）的唯一极值点，也是它的唯一最大值点，x=x0也是g'（x）=0在（0，+∞）上的唯一零点，即 ，则 ．

所以g（x）max=g（x0）= = ．

由于g（x）≤0恒成立，则g（x）max≤0，即 ，（*）

考察函数 ，则 ，

所以h（x）为（0，+∞）内的增函数，且 ， ，

又常数k满足klnk=1，即 ，

所以，k是方程 的唯一根，

于是不等式（*）的解为x0≤k，

又函数 （x＞0）为增函数，故 ，

所以m的取值范围是

【解析】（Ⅰ）求出导函数，根据切线方程和导函数的关系求出参数的值；

（Ⅱ）构造函数 = ，通过导函数求出函数的最小值，得出u（x）≥0，得出结论成立．（Ⅲ）求出导函数 ，对参数m分类讨论，得出函数的极值情况，得出函数的最大值，把恒成立问题转化为最值问题求解；

，通过构造函数 ，结合题意得出x0≤k，构造函数 ，得出m的取值范围．

【考点精析】掌握函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本，需要知道求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．