Question

5．已知函数f（x）=$\frac{7x+5}{x+1}$，数列{a_n}满足：2a_n+1-2a_n+a_n+1a_n=0且a_n≠0．数列{b_n}中，b₁=f（0）且b_n=f（a_n-1）．
（1）求证：数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列；
（2）求数列{a_na_n+1}的前n项和S_n； 
（3）求数列{|b_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由2a_n+1-2a_n+a_n+1a_n=0得$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$；
（2）由b₁=f（0）=$\frac{7（{a}_{1}-1）+5}{{a}_{1}-1+1}$=5，得a₁，由（1）得a_n；
a_na_n+1=$\frac{2}{n+1}-\frac{2}{n+2}=4（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$，累加可得s_n
（3）b_n=$\frac{7{a}_{n}-2}{{a}_{n}}$=7-（n+1）=6-n．
当n≤6时，T_n=$\frac{n}{2}$（5+6-n）=$\frac{n（11-n）}{2}$；当n≥7时，T_n=15+$\frac{n-6}{2}$（1+n-6）=$\frac{n2-11n+60}{2}$．

解答 解：（1）证明：由2a_n+1-2a_n+a_n+1a_n=0得$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，所以数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列．---------4
（2）∵b₁=f（0）=5，所以b₁=$\frac{7（{a}_{1}-1）+5}{{a}_{1}-1+1}$=5，7a₁-2=5a₁，所以a₁=1，
由（1）得数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列，∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）$\frac{1}{2}$，所以a_n=$\frac{2}{n+1}$；
a_na_n+1=$\frac{2}{n+1}-\frac{2}{n+2}=4（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
s_n=4（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=4（$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$）=$\frac{2n}{n+2}$．-----8
（3）因为a_n=$\frac{2}{n+1}$．所以b_n=$\frac{7{a}_{n}-2}{{a}_{n}}$=7-（n+1）=6-n．
当n≤6时，T_n=$\frac{n}{2}$（5+6-n）=$\frac{n（11-n）}{2}$；
当n≥7时，T_n=15+$\frac{n-6}{2}$（1+n-6）=$\frac{n2-11n+60}{2}$．
所以，T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n（11-n）}{2}\\;\\;（n≤6）}\\{\frac{{n}^{2}-11n+60}{2}\\;\\;（n≥7）}\end{array}\right.$-----12

点评 本题考查了数列递推式的处理，及数列求和的基本方法，属于中档题．