Question

【题目】如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=∠CEF=90°，AD= ．
（Ⅰ）求证：AE∥平面DCF；
（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°？

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）过点E作EG⊥CF交CF于G，连接DG，

可得四边形BCGE为矩形．又ABCD为矩形，
所以AD⊥∥EG，从而四边形ADGE为平行四边形，故AE∥DG．
因为AE平面DCF，DG平面DCF，所以AE∥平面DCF．
（Ⅱ）解：过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH．

由平面ABCD⊥平面BEFG，AB⊥BC，得
AB⊥平面BEFC，
从而AH⊥EF，
所以∠AHB为二面角A﹣EF﹣C的平面角．
在Rt△EFG中，因为EG=AD= ．
又因为CE⊥EF，所以CF=4，
从而BE=CG=3．
于是BH=BEsin∠BEH= ．
因为AB=BHtan∠AHB，
所以当AB= 时，二面角A﹣EF﹣G的大小为60°
【解析】（Ⅰ）过点E作EG⊥CF并CF于G，连接DG，证明AE平行平面DCF内的直线DG，即可证明AE∥平面DCF；
（Ⅱ）过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH，说明∠AHB为二面角A﹣EF﹣C的平面角，通过二面角A﹣EF﹣C的大小为60°，求出AB即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面平行的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．