Question

20．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=CB=1，BA=2，AB∥DC，∠BCD=90°，点E、F、G分别是线段AB、PC、DE的中点．
（Ⅰ）求证：FG∥平面PAB；
（Ⅱ）求证：DF⊥平面PBC．

Answer 1

分析 （I）由已知可证四边形AECD为平行四边形，连接AC，可证FG∥PA，即可判定FG∥平面PAB．
（II）先证明PD⊥BC，CD⊥BC，即可证明BC⊥平面PCD，BC⊥DF，由PD=DC，F是线段PC的中点，可证DF⊥PC，即可证明DF⊥平面PBC．

解答 （本题满分为12分）
证明：（I）因为DC=1，BA=2，AB∥DC，E是线段AB的中点，所以AE∥DC，且AE=DC，所以四边形AECD为平行四边形．…（3分）
连接AC，则点G为AC的中点，在△PAC中，
点F、G分别是线段PC、AC的中点，所以FG∥PA，
又，FG?平面PAB，PA?平面PAB 所以FG∥平面PAB…（6分）
（II）因为PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PD⊥BC．
由∠BCD=90°，得CD⊥BC，
又PD∩DC=D，PD、DC?平面PCD，
所以BC⊥平面PCD．
因为DF?平面PCD，故BC⊥DF．…（9分）
因为PD=DC，F是线段PC的中点，所以DF⊥PC，
又PC∩BC=C，PC、BC?平面PBC，所以DF⊥平面PBC；…（12分）

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．