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【题目】已知椭圆的右焦点为,且点在椭圆C上.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)过椭圆上异于其顶点的任意一点Q作圆的两条切线,切点分别为不在坐标轴上),若直线x轴,y轴上的截距分别为,证明:为定值;

(3)若是椭圆上不同两点,轴,圆E,且椭圆上任意一点都不在圆E内,则称圆E为该椭圆的一个内切圆,试问:椭圆是否存在过焦点F的内切圆?若存在,求出圆心E的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1);(2)证明见解析;(3).

【解析】

(1)由焦点坐标确定出c的值,根据椭圆的性质列出ab的方程,再将P点坐标代入椭圆方程列出关于ab的方程,联立求出ab的值,确定出椭圆方程即可.

(2)由题意:确定出C1的方程,设点Px1y1),Mx2y2),Nx3y3),根据MN不在坐标轴上,得到直线PM与直线OM斜率乘积为﹣1,确定出直线PM的方程,同理可得直线PN的方程,进而确定出直线MN方程,求出直线MNx轴,y轴截距mn,即可确定出所求式子的值为定值.

(3)依题意可得符合要求的圆E,即为过点FP1P2的三角形的外接圆.所以圆心在x轴上.根据题意写出圆E的方程.由于圆的存在必须要符合,椭圆上的点到圆E距离的最小值是|P1E|,结合图形可得圆心E在线段P1P2上,半径最小.又由于点F已知,即可求得结论.

(1)∵椭圆C的右焦点为F(1,0),且点P(1,)在椭圆C上;

,解得a=2,b

∴椭圆C的标准方程为

(2)由题意:C1

设点Px1y1),Mx2y2),Nx3y3),

MN不在坐标轴上,∴kPM=﹣=﹣

∴直线PM的方程为yy2=﹣xx2),

化简得:x2x+y2y,①,

同理可得直线PN的方程为x3x+y3y,②,

P点的坐标代入①、②得

∴直线MN的方程为x1x+y1y

y=0,得m,令x=0得n

x1y1

又点P在椭圆C1上,

∴(2+3(2=4,

为定值.

(3)由椭圆的对称性,可以设P1mn),P2m,﹣n),点Ex轴上,设点Et,0),

则圆E的方程为:(xt2+y2=(mt2+n2

由内切圆定义知道,椭圆上的点到点E距离的最小值是|P1E|,

设点Mxy)是椭圆C上任意一点,则|ME|2=(xt2+y2

xm时,|ME|2最小,∴m=﹣,③,

又圆E过点F,∴(﹣2=(mt2+n2,④

P1在椭圆上,∴,⑤

由③④⑤,解得:t=﹣t=﹣

t=﹣时,m=﹣<﹣2,不合题意,

综上:椭圆C存在符合条件的内切圆,点E的坐标是(﹣,0).

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