【题目】已知椭圆的右焦点为,且点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过椭圆上异于其顶点的任意一点Q作圆的两条切线,切点分别为不在坐标轴上),若直线在x轴,y轴上的截距分别为,证明:为定值;
(3)若是椭圆上不同两点,轴,圆E过,且椭圆上任意一点都不在圆E内,则称圆E为该椭圆的一个内切圆,试问:椭圆是否存在过焦点F的内切圆?若存在,求出圆心E的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)证明见解析;(3).
【解析】
(1)由焦点坐标确定出c的值,根据椭圆的性质列出a与b的方程,再将P点坐标代入椭圆方程列出关于a与b的方程,联立求出a与b的值,确定出椭圆方程即可.
(2)由题意:确定出C1的方程,设点P(x1,y1),M(x2,y2),N(x3,y3),根据M,N不在坐标轴上,得到直线PM与直线OM斜率乘积为﹣1,确定出直线PM的方程,同理可得直线PN的方程,进而确定出直线MN方程,求出直线MN与x轴,y轴截距m与n,即可确定出所求式子的值为定值.
(3)依题意可得符合要求的圆E,即为过点F,P1,P2的三角形的外接圆.所以圆心在x轴上.根据题意写出圆E的方程.由于圆的存在必须要符合,椭圆上的点到圆E距离的最小值是|P1E|,结合图形可得圆心E在线段P1P2上,半径最小.又由于点F已知,即可求得结论.
(1)∵椭圆C:的右焦点为F(1,0),且点P(1,)在椭圆C上;
∴,解得a=2,b=,
∴椭圆C的标准方程为.
(2)由题意:C1:,
设点P(x1,y1),M(x2,y2),N(x3,y3),
∵M,N不在坐标轴上,∴kPM=﹣=﹣,
∴直线PM的方程为y﹣y2=﹣(x﹣x2),
化简得:x2x+y2y=,①,
同理可得直线PN的方程为x3x+y3y=,②,
把P点的坐标代入①、②得,
∴直线MN的方程为x1x+y1y=,
令y=0,得m=,令x=0得n=,
∴x1=,y1=,
又点P在椭圆C1上,
∴()2+3()2=4,
则=为定值.
(3)由椭圆的对称性,可以设P1(m,n),P2(m,﹣n),点E在x轴上,设点E(t,0),
则圆E的方程为:(x﹣t)2+y2=(m﹣t)2+n2,
由内切圆定义知道,椭圆上的点到点E距离的最小值是|P1E|,
设点M(x,y)是椭圆C上任意一点,则|ME|2=(x﹣t)2+y2=,
当x=m时,|ME|2最小,∴m=﹣,③,
又圆E过点F,∴(﹣)2=(m﹣t)2+n2,④
点P1在椭圆上,∴,⑤
由③④⑤,解得:t=﹣或t=﹣,
又t=﹣时,m=﹣<﹣2,不合题意,
综上:椭圆C存在符合条件的内切圆,点E的坐标是(﹣,0).
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系取相同的单位长度.已知曲线,过点的直线的参数方程为.直线与曲线分别交于、.
(1)求的取值范围;
(2)若、、成等比数列,求实数的值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】数列的前项1,3,7,,()组成集合,从集合中任取()个数,其所有可能的个数的乘积的和为(若只取一个数,规定乘积为此数本身),记.例如:当时,,,;时,,,,.
(1)当时,求,,,的值;
(2)证明:时集合的与时集合的(为以示区别,用表示)有关系式(,);
(3)试求(用表示).
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可吸入肺颗粒物.我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.
某试点城市环保局从该市市区2015年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶)
(1)求中位数.
(2)从这15天的数据中任取两天数据,记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数,求ξ的分布列及数学期望.
(3)以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按360天计算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产千件,需另投入成本,当年产量不足80千件时,(万元);当年产量不小于80千件时,(万元),每件售价为0.05万元,通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润(万元)关于年产量(千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设集合由满足下列两个条件的数列构成:①②存在实数使得对任意正整数都成立.
(1)现在给出只有5项的有限数列试判断数列是否为集合的元素;
(2)设数列的前项和为且若对任意正整数点均在直线上,证明:数列并写出实数的取值范围;
(3)设数列若数列没有最大值,求证:数列一定是单调递增数列。
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】曲线的右焦点分别为,短袖长为,点在曲线上,直线上,且.
(1)求曲线的标准方程;
(2)试通过计算判断直线与曲线公共点的个数.
(3)若点在都在以线段为直径的圆上,且,试求的取值范围.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com