如图.已知点A.动点P满足|PA|=2|PO|.其中O为坐标原点．(Ⅰ)求动点P的轨迹方程．中所得的曲线为C．过原点O作两条直线l1:y=k1x.l2:y=k2x分别交曲线C于点E(x1.y1).F(x2.y2).G(x3.y3).H(x4.y4)(其中y2＞0.y4＞0)．求证:,中的E.F.G.H.设EH交x轴于点Q.GF交x轴于点R．求证:|OQ|=|OR|．(证明过程� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

如图，已知点A（0，-3），动点P满足|PA|=2|PO|，其中O为坐标原点．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程．
（Ⅱ）记（Ⅰ）中所得的曲线为C．过原点O作两条直线l₁：y=k₁x，l₂：y=k₂x分别交曲线C于点E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂）、G（x₃，y₃）、H（x₄，y₄）（其中y₂＞0，y₄＞0）．求证：

；
（III）对于（Ⅱ）中的E、F、G、H，设EH交x轴于点Q，GF交x轴于点R．求证：|OQ|=|OR|．（证明过程不考虑EH或GF垂直于x轴的情形）

【答案】分析：（1）设点P的坐标为（x，y），进而表示出|PA|和|PO|，根据|PA|=2|PO|，求的点P的轨迹方程．
（2）将直线EF和GH的方程分别代入圆C方程，利用韦达定理分别求得交点横坐标之和与之积，进而代入

，证明原式．
（3）设点Q（q，0），点Q（r，0），由E、Q、H三点共线求得q的表达式，根据F、R、G三点共线求得r的表达式，进而根据（2）中的

整理得

，进而可知q+r=0，所以|q|=|r|，即|OQ|=|OR|．
解答：

解：（Ⅰ）设点P（x，y），依题意可得

整理得x²+y²-2y-3=0
故动点P的轨迹方程为x²+y²-2y-3=0．
（Ⅱ）将直线EF的方程y=k₁x代入圆C方程
整理得（k₁²+1）x²-2k₁x-3=0
根据根与系数的关系得

，

①
将直线GH的方程y=k₂x代入圆C方程，
同理可得

，

②
由①、②可得

，所以结论成立．
（Ⅲ）设点Q（q，0），点Q（r，0），由E、Q、H三点共线
得

，解得

由F、R、G三点共线
同理可得

由

变形得

即

，
从而q+r=0，所以|q|=|r|，即|OQ|=|OR|．
点评：本题主要考查了圆方程得综合应用．涉及直线与圆的关系常需要把直线方程与圆方程联立，利用韦达定理来解决问题．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>