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2.求函数y=$\frac{2{x}^{2}+7x-1}{{x}^{2}+3x}$(x>1)的最大值.

分析 运用变量分离法和换元法,令x-1=t(t>0),y=2+$\frac{t}{(t+1)(t+4)}$=2+$\frac{1}{t+\frac{4}{t}+5}$,运用基本不等式即可得到最大值.

解答 解:函数y=$\frac{2{x}^{2}+7x-1}{{x}^{2}+3x}$(x>1)
=$\frac{2{x}^{2}+6x+x-1}{{x}^{2}+3x}$=2+$\frac{x-1}{x(x+3)}$
令x-1=t(t>0),则x=1+t,
则y=2+$\frac{t}{(t+1)(t+4)}$=2+$\frac{1}{t+\frac{4}{t}+5}$≤2+$\frac{1}{5+2\sqrt{t•\frac{4}{t}}}$=2+$\frac{1}{9}$=$\frac{19}{9}$,
当且仅当t=2,即x=3时,取得最大值$\frac{19}{9}$.

点评 本题考查函数的最值的求法,注意变量分离法和换元法,以及基本不等式的运用,属于中档题.

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