Question

【题目】函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（1）=0，当x＜0时，xf′（x）+f（x）＞0，则使得f（x）＜0成立的x的取值范围是（ ）
A.（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
B.（﹣1，0）∪（1，+∞）
C.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
D.（﹣1，0）∪（0，1）

Answer 1

【答案】B
【解析】解：设g（x）=xf（x），则g′（x）=xf′（x）+f（x），
∵当x＜0时，xf′（x）+f（x）＞0，
∴则当x＜0时，g′（x）＞0，
∴函数g（x）=xf（x）在（﹣∞，0）上为增函数，
∵函数f（x）是奇函数，∴g（﹣x）=（﹣x）f（﹣x）=（﹣x）[﹣f（x）]=xf（x）=g（x），
∴函数g（x）为定义域上的偶函数，
由f（1）=0得，g（1）=0，函数g（x）的图象大致如右图：
∵不等式f（x）＜0 ＜0，
∴ 或 ，
由函数的图象得，﹣1＜x＜0或x＞1，
∴使得f（x）＜0成立的x的取值范围是：（﹣1，0）∪（1，+∞），
故选：B．

【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．