Question

已知函数f（x）（x∈R）的最小正周期为2，且对任意实数x，f（2-x）=f（2+x），且[a，b]（a＜b）是f（x）的一个单调区间．
（1）求证：b-a≤1；
（2）已知区间[0，1]为f（x）的一个单调区间，且对任意x＜0，都有f（2^x）＞f（2），解关于实数x的不等式f（-10.5）＞f（x²+6x）．

Answer 1

分析：（1）利用反证法证明．先假设b-a＞1，则b＞a+1，对a取特殊值，取a=0，结合条件f（2-x）=f（2+x），∴f（4-b）=f（b），又函数f（x）（x∈R）的最小正周期为2，得出f（2-b）=f（b），而区间[0，b]是f（x）的一个单调区间，这与f（2-b）=f（b）矛盾，故假设不成立，从而结论得到证明；
（2）先由f（2^x）＞f（2）=f（0），得出区间[0，1]为f（x）的一个单调增区间，再利用对称性及周期性得出函数f（x）是偶函数，从而得到区间[1，2]为f（x）的一个单调减区间，再化简不等式f（-10.5）＞f（x²+6x），最后在一个周期 长的区间[0，2]上考虑此不等式的解根据函数的周期性得不等式f（-10.5）＞f（x²+6x）在R上的解即可．

解答：证明：（1）假设b-a＞1，则b＞a+1，
不妨取特殊值a=0，则b＞1，
∵f（2-x）=f（2+x），∴f（4-b）=f（b），
又函数f（x）（x∈R）的最小正周期为2，
∴f（4-b）=f（2-b）
∴f（2-b）=f（b）
而区间[0，b]是f（x）的一个单调区间，⇒f（2-b）≠f（b），
这与f（2-b）=f（b）矛盾，故假设不成立，
∴b-a≤1；
解：（2）∵对任意x＜0，都有f（2^x）＞f（2）=f（0），
其中0＜2^x＜1，
∴区间[0，1]为f（x）的一个单调增区间，
∵函数f（x）（x∈R）的最小正周期为2，
∴f（2-x）=f（-x），f（x）=f（2+x），
且对任意实数x，f（2-x）=f（2+x），
∴f（-x）=f（x），函数f（x）是偶函数，
∵区间[0，1]为f（x）的一个单调增区间，根据偶函数的对称性得：
区间[-1，0]为f（x）的一个单调减区间，
根据函数的周期性得：区间[1，2]为f（x）的一个单调减区间，
又不等式f（-10.5）＞f（x²+6x）可化成：
f（1.5）＞f（x²+6x）．
在一个周期长的区间[0，2）上考虑此不等式的解，有：
0≤x²+6x≤

1

2

或

3

2

≤x²+6x＜2，
解之得：

-6- 38

2

≤x≤-6或0≤x≤

-6+ 38

2

；或-3-

11

＜x≤

-6- 42

2

或

-6+ 42

2

≤x＜-3+

11

．
根据函数的周期性得：
不等式f（-10.5）＞f（x²+6x）在R上的解是：

-6- 38

2

+2k≤x≤-6+2k或+2k≤x≤

-6+ 38

2

+2k；或-3-

11

+2k＜x≤

-6- 42

2

+2k或

-6+ 42

2

+2k≤x＜-3+

11

+2k．k∈Z．

点评：本小题主要考查函数的周期性、函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于难题．