Question

【题目】已知函数f（x）=x2+alnx
（1）当a=﹣1时，求函数的单调区间和极值
（2）若f（x）在[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=﹣1时：f（x）=x2﹣lnx，（x＞0），

∴f′（x）=2x﹣ = ，

令f′（x）＞0，解得：x＞ ，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜ ，

∴f（x）在（0， ）递减，在（ ，+∞）上单调递增，

∴f（x）的极小值是f（ ）= （1+ln2）

（2）解：∵f′（x）=2x+ ，

若f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，

则：f′（1）=2+a≥0，

∴a≥﹣2

【解析】（1）先求出函数的导数，得出f′（x），从而判断函数的单调性和极值，（2）由f′（x）=2x+ ，且f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，解不等式从而求出a的范围．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．