Question

设函数f(x)＝ax＋ (a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方
程为y＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积为定值，
并求出此定值．

Answer 1

(1)解　f′(x)＝a－，
解得或
因为a，b∈Z，故f(x)＝x＋.
(2)证明　在曲线上任取一点，由f′(x₀)＝1－知，过此点的切线
方程为y－＝[1－] (x－x₀)．
令x＝1，得y＝，  切线与直线x＝1的交点为 (1, )；
令y＝x，得y＝2x₀－1，切线与直线y＝x的交点为(2x₀－1,2x₀－1)；
直线x＝1与直线y＝x的交点为(1,1)，从而所围三角形的面积为
|2x₀－1－1|＝2.
所以，所围三角形的面积为定值2.

解析