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2.已知全集U=R,集合A={x|x2-2ax-3a2<0},B={x|x2-2x-a2-2a<0}.
(1)当a=12时,求(∁UB)∩A;
(2)命题P:x∈A,命题q:x∈B,若q是P的必要条件,求实数a的取值范围.

分析 (1)先得到A={x|(x-3a)(x+a)<0},B={x|[x-(a+2)](x+a)<0},从而a=12时,可以求出A,B,然后进行补集、交集的运算即可;
(2)可根据条件得出A⊆B,这样可讨论a:分a>0,a=0,-1<a<0,a=-1,以及a<-1这几种情况,从而求出A,B,而根据A⊆B便可建立关于a的不等式,解不等式便可求出实数a的取值范围,并由题意知A,B都不是空集.

解答 解:(1)A={x|(x-3a)(x+a)<0},B={x|[x-(a+2)](x+a)<0};
∴a=12时,A=(-12,36),B=(-12,14);
∴∁UB=(-∞,-12]∪[14,+∞);
∴(∁UB)∩A=[14,36);
(2)根据条件知,若x∈A,则x∈B;
∴A⊆B;
①若a>0,则A=(-a,3a),B=(-a,a+2);
∵A⊆B;
∴3a≤a+2;
∴a≤1;
即0<a≤1;
②若a=0,A=∅,而由x∈A知A非空,∴这种情况不存在;
③若-1<a<0,则A=(3a,-a),B=(-a,a+2);
显然不满足A⊆B,即这种情况不存在;
④若a=-1,则B=∅,而B≠∅,∴这种情况不存在;
⑤若a<-1,则A=(3a,-a),B=(a+2,-a);
∵A⊆B;
∴3a≥a+2;
∴a≥1,不满足a<-1,∴这种情况不存在;
综上得实数a的取值范围为(0,1].

点评 考查一元二次不等式的解法,以及补集、交集的运算,必要条件的概念,子集的定义,而对a的讨论要全面.

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