Question

如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若点B，P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M．CN⊥直线a于点N，连接PM，PN．

（1）延长MP交CN于点E（如图2）．
①求证：△BPM≌△CPE；
②求证：PM=PN；
（2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B，P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM=PN还成立吗？不必说明理由．

Answer 1

(1)结合三角形的边和角来证明全等同时得到线段的对应相等的证明。
(2) PM="PN" 成立，同样是借助于三角形的全等来证明。
(3) “四边形MBCN是矩形，则PM=PN成立”

试题分析：（1）证明：①如图2：

∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，
∴∠BMN=∠CNM=90°，
∴BM∥CN，
∴∠MBP=∠ECP，
又∵P为BC边中点，
∴BP=CP，
又∵∠BPM=∠CPE，
∴△BPM≌△CPE，        3分
②∵△BPM≌△CPE，
∴PM=PE∴PM="1" 2 ME，
∴在Rt△MNE中，PN="1" 2 ME，     4分
∴PM=PN．
（2）解：成立，如图3．

证明：延长MP与NC的延长线相交于点E，
∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，
∴∠BMN=∠CNM=90°∴∠BMN+∠CNM=180°，
∴BM∥CN∴∠MBP=∠ECP，     6分
又∵P为BC中点，
∴BP=CP，
又∵∠BPM=∠CPE，
∴△BPM≌△CPE，
∴PM=PE，
∴PM="1" 2 ME，
则Rt△MNE中，PN="1" 2 ME，
∴PM=PN．     8分
（3）解：如图4，

四边形M′BCN′是矩形，
根据矩形的性质和P为BC边中点，得到△M′BP≌△N′CP，   9分
得PM′=PN′成立．即“四边形MBCN是矩形，则PM=PN成立”．   10分
点评：解决该试题的关键是对于相似三角形的性质的熟练运用，属于基础题。