Question

（本小题共13分）

       若数列满足，则称为数列，记.

       （Ⅰ）写出一个E数列A₅满足；

       （Ⅱ）若，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2011；

       （Ⅲ）在的E数列中，求使得=0成立得n的最小值.

Answer 1

（共13分）

       解：（Ⅰ）0，1，0，1，0是一具满足条件的E数列A₅.

       （答案不唯一，0，—1，0，1，0；0，±1，0，1，2；0，±1，0，—1，—2；0，±1，0，—1，
—2，0，±1，0，—1，0都是满足条件的E的数列A₅）

       （Ⅱ）必要性：因为E数列A₅是递增数列，

       所以．

       所以A₅是首项为12，公差为1的等差数列．

       所以a₂₀₀₀=12+（2000—1）×1=2011．

       充分性，由于a₂₀₀₀—a₁₀₀₀≤1，

       a₂₀₀₀—a₁₀₀₀≤1

       ……

       a₂—a₁≤1

       所以a₂₀₀₀—a_t≤19999，即a₂₀₀₀≤a₁+1999．

       又因为a₁=12，a₂₀₀₀=2011,

       所以a₂₀₀₀=a₁+1999．

       故是递增数列．

       综上，结论得证.

       （Ⅲ）对首项为4的E数列A_k，由于

      

……

……

所以

所以对任意的首项为4的E数列A_m，若

则必有.

又的E数列

所以n是最小值是9.