Question

已知函数，．

（I）求函数f（x）的解析式；

（II）若对于任意x∈（0，+∞），都有f（x）+g（x）≤a成立，求实数a的取值范围；

（III）设x₁，x₂，a₁，a₂＞0，且a₁+a₂=1，求证：a₁lnx₁+a₂lnx₂≤ln（a₁x₁+a₂x₂）．

Answer 1

考点：

导数在最大值、最小值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题．

专题：

导数的综合应用．

分析：

（I）欲求函数f（x）的解析式，根据题意，即求出其中的f'（2）的值，故只须对函数求导后令x=2即可；

（II）设F（x）=f（x）+g（x），对于任意x∈（0，+∞），都有f（x）+g（x）≤a成立，只须a≥F（x）_max即可，利用导数求函数F（x）的最大值，则实数a的取值范围可求．

（III）由（II），得F（x）=lnx﹣x≤﹣1，即lnx≤x﹣1，再分别令，，后利用不等式的性质两式相加，得到一个不等关系式，化简即可证出结论．

解答：

解：（I）因为，

所以f′（x）=x﹣f′（2）．（2分）

令x=2，得f′（2）=1，

所以f（x）=．（4分）

（II）解：设F（x）=f（x）+g（x）=lnx﹣x，

则F′，（5分）

令F′（x）=0，解得x=1．（6分）

当x变化时，F（x）与F′（x）的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	﹣
f（x）	增	极大值	减

所以当x=1时，F（x）_max=F（1）=﹣1．（9分）

因为对于任意x∈（0，+∞），都有f（x）+g（x）≤a成立，

所以a≥﹣1．（10分）

（III）证明：由（II），得F（x）=lnx﹣x≤﹣1，即lnx≤x﹣1，

令，得，

令，得，（11分）

所以

因为a₁+a₂=1，

所以，

即，

所以a₁lnx₁﹣a₁ln（a₁x₁+a₂x₂）+a₂lnx₂﹣a₂ln（a₁x₁+a₂x₂）≤0，

即a₁ln₁+a₂lnx₂≤（a₁+a₂）ln（a₁x₁+a₂x₂），

所以a₁lnx₁+a₂lnx₂≤ln（a₁x₁+a₂x₂）．（14分）

点评：

本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数的导函数在某一区间上大于0，原函数是增函数，导函数小于0，原函数是减函数，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了分离变量法，是中档题．