Question

【题目】数列{an}满足an+1+an=4n﹣3（n∈N*）

（1）若{an}是等差数列，求其通项公式；

（2）若{an}满足a1=2，Sn为{an}的前n项和，求S2n+1．

Answer 1

【答案】（1）；（2）4n2+n+2

【解析】

（1）由an+1+an=4n﹣3再写一个等式an+2+an+1=4n+1，两式相减后可求得公差，从而再求得首项后可得通项公式．

（2）由，求得，再由（1）的作差知数列的奇数项、偶数项分别成等差数列，奇偶项分组后可求得和

（1）由题意得an+1+an=4n﹣3…①an+2+an+1=4n+1…②．

②﹣①得an+2﹣an=4，∵{an}是等差数列，设公差为d，∴d=2，

∵a1+a2=1∴a1+a1+d=1，∴ ．∴ ．

（2）∵a1=2，a1+a2=1，∴a2=﹣1．又∵an+2﹣an=4，

∴数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差均为4，

S2n+1=（a1+a3+…+a2n+1）+（a2+a4+…+a2n）= =4n2+n+2.