Question

已知抛物线过点．

（I）求抛物线的方程；

（II）已知圆心在轴上的圆过点，且圆在点的切线恰是抛物线在点的切线，求圆的方程；

（Ⅲ）如图，点为轴上一点，点是点关于原点的对称点，过点作一条直线与抛物线交于两点，若，证明: ．

 

Answer 1

【答案】

（I）；（II）；（Ⅲ）见解析。

【解析】

试题分析：（I）

（II）由   得 所以抛物线 在点处切线的斜率为

过点且与切线垂直的直线方程为：，即，令得

圆心，半径

圆的方程为：

（Ⅲ）设直线AB的方程为 代入抛物线方程得    

设A、B两点的坐标分别是 、、x₂是方程①的两根.

所以    ①

由得

即　②

由①、②可得

又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标是（0，－m），从而.

所以 

考点：抛物线的简单性质；圆的简单性质；导数的几何意义；直线与抛物线的综合应用。

点评：：研究直线与抛物线的综合问题，通常的思路是：转化为研究方程组的解的问题，利用直线方程与抛物线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题（包括公共点个数、与交点坐标有关的问题）转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题。