Question

【题目】某中学旅游局欲将一块长20百米，宽10百米的矩形空地ABCD建成三星级乡村旅游园区，园区内有一景观湖EFG（如图中阴影部分）以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，O为园区正门，园区北门P在y正半轴上，且PO=10百米。景观湖的边界线符合函数的模型。

（1）若建设一条与AB平行的水平通道，将园区分成面积相等的两部分，其中湖上的部分建成玻璃栈道，求玻璃栈道的长度。

（2）若在景观湖边界线上一点M修建游船码头，使得码头M到正门O的距离最短，求此时M点的横坐标。

（3）设图中点B为仓库所在地，现欲在线段OB上确定一点Q建货物转运站，将货物从点B经Q点直线转运至点P(线路PQ不穿过景观湖)，使货物转运距离QB+PQ最短，试确定点P的位置。

Answer 1

【答案】（1）玻璃栈道的长度为3百米．

（2）.

(3) 当点在线段上且与点O的距离为百米时，最短．

【解析】

分析：（1）根据题意，建立相应的等量关系式，求得结果；

（2）利用两点间的距离公式，列出对应的式子，之后应用基本不等式求得最值；

（3）将两条线段的长度和化为关于坐标的关系式，结合性质，求得最值.

详解：（1）令，即，解得：或4，

则玻璃栈道的长度，

∴玻璃栈道的长度为3百米．

（2）设，其中，

则，当且仅当时，即时取等号．

∴取最小值时M点的横坐标为．

（3）设，

∵在轴正半轴上，且PO=10 ∴ 又∵

∴在上单调减

∴点越靠近点，越短．

∵路线PQ不穿过景观湖 ∴当直线与边界曲线相切时，最短．

设切点为，由得

∴切线的方程为

∵切线过点，∴，解得：

∴切线方程为：．

令，得，即点在线段上且与点O的距离为百米．

答：当点在线段上且与点O的距离为百米时，最短．