Question

正三棱锥S-ABC的高为2，侧棱与底面所成的角为45°，则其内切球的半径R=

 

．

Answer 1

分析：根据题意和正三棱锥的结构特征，求出底面的边长和侧面的高，再由三棱锥的体积相等列出方程，求出内切球的半径．

解答：解：如图：设SO⊥底面ABC，则O是正三角形的中心，取AB的中点D，连接SD、OD、OB，
即SD⊥AB，OD⊥AB，

由题意知，SO=2，∠SDO=45°，则SD=2

2

，
在RT△ODB中，OD=2，∠OBD=30°，BD=2

3

，则AB=4

3

，
设内切球的半径R，由三棱锥的体积相等得，

1

3

×

1

2

×4

3

×4

3

×

3

2

×2=

1

3

×

1

2

×4

3

×4

3

×

3

2

×R+3×

1

3

×

1

2

×4

3

×2

2

×R
解得，R=2（

2

-1），
故答案为：2（

2

-1）．

点评：本题考查了正三棱锥的结构特征和体积相等法的应用，考查了空间想象能力．