Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的中，求证：B₁D被平面A₁BC₁分成1：2的两段．

Answer 1

证明：如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
连接B₁D₁，A₁C₁，BD，AC．
设B₁D₁∩A₁C₁=M，BD∩AC=N．
∴M，N分别是B₁D₁，AC的中点．
连接BM，D₁N．
∵BB₁∥DD₁，且BB₁=DD₁，
∴四边形BDD₁B₁是平行四边形．
在平面BDD₁B₁中，设B₁D∩BM=O，B₁D∩D₁N=O₁，
在平行四边形BDD₁B₁中，
∵D₁M∥NB，且D₁M=NB，
∴四边形BND₁M是平行四边形．
∴BM∥ND₁，即OM∥O₁D₁，
∴O是BO₁的中点，即O₁O=OB₁．
同理，OO₁=O₁D．
∴O₁O=OB₁=O₁D．
综上，OB₁：OD₁=1：2，
即B₁D被平面A₁BC₁分成1：2的两段
分析：解决此题应该先找出直线B₁D与平面A₁BC₁的交点，把直线B₁D放到平面BDD₁B₁中，则交点应该在平面BDD₁B₁与平面A₁BC₁的交线（即图中BM）上，然后在平行四边形BDD₁B₁中解决比例关系．
点评：平面D₁AC∥平面A₁BC₁，B₁D与这两个面都垂直，且垂足就是B₁D的两个三等分点．