Question

已知向量

a

=（1，1），

b

=（2x，x），

c

=（3，1）．
（Ⅰ）若（

a

+

b

）∥

c

，求实数x的值；
（Ⅱ）若（

a

+

b

）与

c

的夹角为45°，求实数x的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,平面向量共线（平行）的坐标表示,数量积表示两个向量的夹角

专题：平面向量及应用

分析：（Ⅰ）利用（

a

+

b

）∥

c

，列出方程即可求实数x的值；
（Ⅱ）利用（

a

+

b

）与

c

的夹角为45°，通过向量的数量积得到方程，即可求实数x的值．

解答： 解：向量

a

=（1，1），

b

=（2x，x），

c

=（3，1）．

a

+

b

=（2x+1，1+x）      …（2分）
（I）∵（

a

+

b

）∥

c

，∴2x+1-3（x+1）=0⇒x=-2              …（4分）
（II）∵（

a

+

b

）与

c

的夹角为45°，∴（

a

+

b

）•

c

=|

a

+

b

||

c

|cos45°  …（6分）
∴3（2x+1）x+1=

(2x+1)2+(x+1)2

•

10

•

2

2

∴12x²+13x+3=0，解答x=-

1

3

 或x=-

3

4

．…（8分）
代入检验，x=-

3

4

舍去
∴x=-

1

3

．…（10分）

点评：本题考查向量的共线与数量积的运算，基本知识的考查．