Question

17．是否存在锐角α和β，使α+2β=$\frac{2π}{3}$①，且tan$\frac{α}{2}$tanβ=2-$\sqrt{3}$②，同时成立？若存在，求出α和β的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 假设存在两个锐角α和β，使得两个条件：α+2β=$\frac{2π}{3}$①和tan$\frac{α}{2}$tanβ=2-$\sqrt{3}$②同时成立，求得$\left\{\begin{array}{l}{tan\frac{α}{2}=1}\\{tanβ=2-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{tan\frac{α}{2}=2-\sqrt{3}}\\{tanβ=1}\end{array}\right.$，解得α=$\frac{π}{6}$、β=$\frac{π}{4}$ 满足条件，从而得出结论．

解答 解：假设存在两个锐角α和β，使得两个条件：α+2β=$\frac{2π}{3}$①和tan$\frac{α}{2}$tanβ=2-$\sqrt{3}$②同时成立；
可得tan（$\frac{α}{2}$+β）=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，∴tan$\frac{α}{2}$+tanβ=tan（$\frac{α}{2}$+β）•（1-tan$\frac{α}{2}$tanβ）=$\sqrt{3}$[1-（2-$\sqrt{3}$）]=3-$\sqrt{3}$，
即 tan$\frac{α}{2}$+tanβ=3-$\sqrt{3}$ ③．
由②③求得$\left\{\begin{array}{l}{tan\frac{α}{2}=1}\\{tanβ=2-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{tan\frac{α}{2}=2-\sqrt{3}}\\{tanβ=1}\end{array}\right.$．
对于$\left\{\begin{array}{l}{tan\frac{α}{2}=1}\\{tanβ=2-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，由于不存在锐角α，使tan$\frac{α}{2}$=1，故此方程组无解．
对于$\left\{\begin{array}{l}{tan\frac{α}{2}=2-\sqrt{3}}\\{tanβ=1}\end{array}\right.$，可得$\frac{α}{2}$=$\frac{π}{12}$，β=$\frac{π}{4}$，故存在α=$\frac{π}{6}$、β=$\frac{π}{4}$ 满足条件．

点评 本题给出α、β满足的条件，探求α、β能否为锐角．着重考查了两角和与差的正切公式、方程组的解法、特殊角的三角函数值等知识，属于中档题．