【题目】在长方体中,,是棱上的一点.
(1)求证:平面;
(2)求证:;
(3)若是棱的中点,在棱上是否存在点,使得平面?若存在,求出线段的长;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)当点是棱的中点时,有平面.
【解析】
试题分析:(1)由平面,可得,在矩形中,可证得,根据线面垂直的判定定理即可证得平面;(2)由(1)可知,平面,根据线面垂直的性质可得;(3)假设点是棱的中点时,有平面,在上取中点,连接,,根据线面平行的性质定理可得四边形是平行四边形,所以.
试题解析:(1)证明:在长方体中,
因为平面,平面,所以.
在矩形中,
因为,
所以,
因为,
所以平面.
(2)证明:因为,所以平面,
由(1)可知,平面,
所以.
(3)解:当点是棱的中点时,有平面.
理由如下:
在上取中点,连接,,
因为是棱的中点,是的中点,
所以,且,
又,且,
所以,且,
所以四边形是平行四边形,所以.
又平面,平面,
所以平面,
此时.
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【题目】已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,A(-3,-10),
B (-2,-1),C(3,4),
(1)求边AD和CD所在的直线方程;
(2)数列的前项和为,点在直线CD上,求证为等比数列.
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【题目】解下列关于x的不等式.
(1) 4x--7·2x-2-1>0;
(2) loga(2x+1)>2loga(1-x)(其中a是正的常数,且a≠1).
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【题目】已知函数(为自然对数的底数),,.
(1)求曲线在处的切线方程;
(2)讨论函数的极小值;
(3)若对任意的,总存在,使得成立,求实数的取值范围.
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【题目】已知椭圆:的离心率为,椭圆和抛物线交于,两点,且直线恰好通过椭圆的右焦点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)经过椭圆右焦点的直线和椭圆交于,两点,点在椭圆上,且,其中为坐标原点,求直线的斜率.
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【题目】已知椭圆: 的短轴长为2,且函数的图象与椭圆仅有两个公共点,过原点的直线与椭圆交于两点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)点为线段的中垂线与椭圆的一个公共点,求面积的最小值,并求此时直线的方程.
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