Question

19．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1与直线y=2x有公共点与y=3x没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（　　）

• A． （$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$]
• B． （1，$\sqrt{10}$]
• C． （1，$\sqrt{5}$]
• D． [$\sqrt{5}$，+∞）

Answer 1

分析 可设双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）与直线y=2x有交点，应有$\frac{b}{a}$＞2，再联立直线y=3x，由于没有交点，则$\frac{b}{a}$≤3，可得e的范围．

解答 解：设双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
双曲线与直线y=2x有交点，
则有$\frac{b}{a}$＞2，
又双曲线与直线y=3x没有公共点，
则有$\frac{b}{a}$≤3，
即有2＜$\frac{b}{a}$≤3，
即有2＜$\frac{\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}}{a}$≤3，即2＜$\sqrt{{e}^{2}-1}$≤3，
解得$\sqrt{5}$＜e≤$\sqrt{10}$．
故选A．

点评 本题考查了双曲线的渐近线和离心率，直线与双曲线相交等问题，属于中档题．