Question

已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，且f′（x）=2x+1，数列{a_n}的前n项和Sn=f(n)(n∈N*)．
（1）求数列y=f（x）的解析式；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）求

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

．

Answer 1

分析：（1）利用导数知识求出数列y=f（x）的解析式．
（2）利用f（x）=x²+x，Sn=f(n)，n∈N*，先求出S_n的关系式，然后利用S_n与a_n的关系求a_n；
（3）由S_n=n²+n=n（n+1），知

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此能求出

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

．

解答：解：（1）由f′（x）=2x+1，
得f（x）=x²+x+b，（b∈R）
因为y=f（x）的图象过原点，
所以f（x）=x²+x．
（2）∵f（x）=x²+x，Sn=f(n)，n∈N*，
∴S_n=n²+n．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n，
又因为a₁=S₁=2，适合a_n=2n，
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2n．（n∈N^*）（4分）
（3）∵S_n=n²+n=n（n+1），
∴

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：求解有关数列的综合题，首先要善于从宏观上整体把握问题，能透过给定信息的表象，揭示问题的本质，然后在微观上要明确解题方向，化难为易，化繁为简，注意解题的严谨性．数列问题对能力要求较高，特别是运算能力、归纳、猜想能力、转化能力、逻辑推理能力更为突出．而解答题更是考查能力的集中体现，尤其近几年高考加强了数列推理能力的考查，应引起我们足够的重视，因此，在平时要加强对能力的培养．