Question

（2012•青州市模拟）某公司向市场投放三种新型产品，经调查发现第一种产品受欢迎的概率为

4

5

，第二、第三种产品受欢迎的概率分别为p，q（p＞q），且不同种产品是否受欢迎相互独立．记ξ为公司向市场投放三种新型产品受欢迎的数量，其分布列为

ξ	0	1	2	3
p	2 45	a	d	8 45

（1）求该公司至少有一种产品受欢迎的概率；
（2）求p，q的值；
（3）求数学期望Eξ．

Answer 1

分析：设事件A_i表示“该公司第i种产品受欢迎”，i=1，2，3，由题意知P（A₁）=

4

5

，P（A₂）=p，P（A₃）=q
（1）求出对立事件“ξ=0”的概率，即可得到该公司至少有一种产品受欢迎的概率；
（2）求出ξ=0，3的概率，利用p+q=1，即可求p，q的值；
（3）求出概率，利用期望公式，即可求得期望．

解答：解：设事件A_i表示“该公司第i种产品受欢迎”，i=1，2，3，由题意知P（A₁）=

4

5

，P（A₂）=p，P（A₃）=q
（1）由于事件“该公司至少有一种产品受欢迎”与事件“ξ=0”是对立的，所以该公司至少有一种产品受欢迎的概率是1-P(ξ=0)=1-

2

45

=

43

45

，
（2）由题意知P(ξ=0)=P(

.

A1

.

A2

.

A3

)=

1

5

(1-p)(1-q)=

2

45

，P（ξ=3）=P（A₁A₂A₃）=

4

5

pq=

8

45

，整理得pq=

2

9

且p+q=1，由p＞q，可得p=

2

3

，q=

1

3

．
（3）由题意知a=P（ξ=1）=

4

5

(1-p)(1-q)+

1

5

p(1-q)+

1

5

(1-p)q=

13

45

，
d=P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=

22

45

因此Eξ=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3)=

27

15

点评：本题考查概率的计算，考查数学期望，解题的关键是确定概率，属于中档题．