Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC⊥BD，且相交于点O ,E是AB边的中点，EO的延长线交CD于F.

（1）求证：EF⊥CD；
（2）若∠ABD=30°,求证

Answer 1

（1）先证明△AOB≌△DOC, 从而得出∠ODC=∠OAB,进而可以证明结论；
（2）先证明△DOC∽△DFO，利用面积比等于相似比的平方比即可证明.

解析试题分析：（1）∵ △AOB为直角三角形，且E 为AB边的中点，
∴EO="EA=EB," ∴∠EAO=∠EOA, ∠EOB=∠EBO，
又△AOB≌△DOC, ∴∠ODC=∠OAB,
∠EOB=∠DOF(对顶角)，∴∠ODC+∠DOF=90°
∴∠DFO=90°
∴EF⊥CD
(2)∵∠ABD=30°∴∠EOB=∠DOF=30°，
∴在Rt△DOF中，DF=OD，△DOC∽△DFO,
所以根据面积比等于相似比的平方比，知
考点：本小题主要考查两条直线垂直、三角形相似等的证明.
点评：在利用相似三角形解答时，注意通过对应边找对应角，通过对应角找对应边，不要找错了。