设f(x)=x2-2ax+2,当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围.
解法一:(辩证思想) 当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a恒成立,也就是说在[-1,+∞)内,f(x)的最小值都大于或等于a. 由题意,a≤x2-2ax+2在[-1,+∞)内恒成立,所以a≤[f(x)]min. 而f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2在[-1,+∞)上的最小值分如下两种情况: (1)a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a2. (2)a∈(-∞,-1)时,f(x)min=f(-1)=(1+a)2+2-a2,∴f(x)min=2-a2,a∈[-1,+∞),(1+a)2+2-a2,a∈(-∞,-1). 由a≤[f(x)]min知, 当a∈[-1,+∞)时,a≤2-a2,得-2≤a≤1,所以得-1≤a≤1, 当a∈(-∞,-1)时,a≤(1+a)2+2-a2,得a≥-3,所以得-3≤a<1,综上所述,a的取值范围为a∈[-3,1]. 解法二:(函数思想,数形结合思想) f(x)≥ax2-2ax+2-a≥0在[-1,+∞)上恒成立,(1)Δ≤0a∈[-2,1]. (2)解得a∈[-3,-2],综上所述,a的取值范围为a∈[-3,1] 点评:由已知条件可见,“恒成立”三个字是该题的“题眼”,可由此来探讨有哪些具体的解答思路. |
科目:高中数学 来源:新课标高三数学数列的概念与数列的简单表示、等差数列专项训练(河北) 题型:解答题
已知f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7,
(1)设f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{an},求证:{an}为等差数列;
(2)设f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成数列{bn},求{bn}的前n项和Sn.
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科目:高中数学 来源:2012年人教A版高中数学必修三1.1算法与程序框图练习卷(一)(解析版) 题型:选择题
对于解方程x2-2x-3=0的下列步骤:
①设f(x)=x2-2x-3
②计算方程的判别式Δ=22+4×3=16>0
③作f(x)的图象
④将a=1,b=-2,c=-3代入求根公式
x=,得x1=3,x2=-1.
其中可作为解方程的算法的有效步骤为( )
A.①② B.②③
C.②④ D.③④
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年山东省高三单元测试文科数学试卷 题型:选择题
设函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,上是减函数,则实数a的范围是
A.a≥-3 B.a≤-3 C.a≥3 D.a≤5
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科目:高中数学 来源:2014届河北省高一上学期期末考试理科数学 题型:选择题
设函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,上是减函数,则实数a的范围是( )
A、a≥-3 B、a≤-3 C、a≥3 D、a≤5
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科目:高中数学 来源:2010年湖北普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)模拟试题 题型:选择题
设函数f(x)=x2+2(-2≤x<0),其反函数为f-1(x),则f-1(3)= ( )
A.-1 B.1 C.0或1 D.1或-1
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