Question

8．已知函数f（x）=x²-x+k，且满足log₂f（a）=2，f（log₂a）=k（a≠1）．
（1）求log₂f（x）的最小值及对应的x的值；
（2）x为何值时，f（log₂x）＞f（1）且log₂f（x）＜f（1）

Answer 1

分析 （1）由已知中f（x）=x²-x+k，log₂f（a）=2，f（log₂a）=k，可构造关于a，k的对数方程，根据对数的运算性质，可将其化为整式方程，解答后可得a，k值；再由二次函数的图象和性质，可得答案；
（2）根据对数函数的图象和性质，分别求解f（log₂x）＞f（1）和log₂f（x）＜f（1），求其交集，可得答案．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-x+k，log₂f（a）=2，f（log₂a）=k
∴$\left\{\begin{array}{l}{log}_{2}（{a}^{2}-a+k）=2\\{log}_{2}a=1或{log}_{2}a=0\end{array}\right.$，
解得：a=2，k=2，
∴函数f（x）=x²-x+2在x=$\frac{1}{2}$时最小值$\frac{7}{2}$，
∴log₂f（x）的最小值为log₂$\frac{7}{2}$=log₂7-1；
（2）∵f（x）=x²-x+2，
∴f（1）=f（0）=2，
若f（log₂x）＞f（1），则log₂x＞1，或log₂x＜0，即x∈（0，1）∪（2，+∞），
若log₂f（x）＜f（1），log₂f（x）＜2，则x²-x+2＜4，即x∈（-1，2），
综上可得：x∈（0，1）

点评 本题考查的知识点是二次函数的性质，对数的运算性质，对数方程，是函数与方程的综合应用，难度中档．