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17.已知函数f(x)=x3-ax2+3x,且x=3是f(x)的极值点.
(1)求实数a的值; 
(2)求f(x)在x∈[1,4]上的最小值和最大值.

分析 (1)f′(x)=3x2-2ax+3. 由于x=3是f(x)的极值点,可得f′(3)=0,解出a并验证即可得出.
(2)f(x)=x3-5x2+3x.令f′(x)=3x2-10x+3=0,解得 x=3,或 x=$\frac{1}{3}$(舍去).列出表格即可得出最值.

解答 解:(1)f′(x)=3x2-2ax+3,
∴f′(3)=27-6a+3=0,
∴a=5,
(2)由(1)知f(x)=x3-5x2+3x,
∴f′(x)=3x2-10x+3,
令f′(x)=0,解得x=3,或x=$\frac{1}{3}$(舍去)
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x1(1,3)3(3,4)4
f′(x)+0-
f(x)-1-9-4
因此,当x=3时,f(x)在区间[1,4]上有最小值为f(3)=-9;
当x=1时,f(x)在区间[1,4]上有最大值是f(1)=-1.

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值,考查了推理能力和计算能力,属于中档题

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