Question

9．在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2，AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．
（1）求该多面体的体积；
（2）求证：BD⊥EG；
（3）在BD上是否存在一点M，使EM∥面DFC，若存在，求出BM的长，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）把多面体的体积看作是三棱锥D-ABE与四棱锥D-BCFE的体积和，然后结合已知条件求解；
（2）过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE，DH⊥EG，再证BH⊥EG，从而可证EG⊥平面BHD，故BD⊥EG；
（3）过E作EN∥FC，交BC于N，作ER∥DF交DA的延长线于R，连接NR交BD于M，连接EM，由面面垂直的判定可得面ENR∥面DFC，从而得到EM∥∥面DFC．然后求解三角形求得BM的长．

解答 （1）解：由EF⊥平面AEB，且EF?平面BCFE，
得平面ABE⊥平面BCFE，又AE⊥EB，
∴AE⊥平面BCFE，
再由EF⊥平面AEB，AD∥EF，可得AD⊥平面AEB，
∴${V}_{D-AEB}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}AE•DE•AD=\frac{1}{6}×2×2×2$=$\frac{4}{3}$；
V_D-BCFE=$\frac{1}{3}{S}_{BCFE}•AE$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}（3+4）×2×2=\frac{14}{3}$．
∴多面体的体积为${V}_{D-AEB}+{V}_{D-BCEF}=\frac{4}{3}+\frac{14}{3}=\frac{18}{3}$=6；
（2）证明：∵EF⊥平面AEB，AE?平面AEB，
∴EF⊥AE，又AE⊥EB，EB∩EF=E，EB，EF?平面BCFE，
∴AE⊥平面BCFE．
过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE．
∵EG?平面BCFE，∴DH⊥EG．
∵AD∥EF，DH∥AE，∴四边形AEHD平行四边形，
∴EH=AD=2，即EH=BG=2，
又EH∥BG，EH⊥BE，
∴四边形BGHE为正方形，
∴BH⊥EG．
又BH∩DH=H，BH?平面BHD，DH?平面BHD，∴EG⊥平面BHD．
∵BD?平面BHD，∴BD⊥EG．
（3）解：过E作EN∥FC，交BC于N，作ER∥DF交DA的延长线于R，
连接NR交BD于M，连接EM，
∵EN∥CF，∴EN∥面DFC，
∵ER∥DF，∴ER∥面DFC，
∴面ENR∥面DFC，
又EM?面ENR，∴EM∥∥面DFC．
∵$\frac{BN}{DR}=\frac{BM}{MD}=\frac{1}{3}$，∴BM=$\frac{1}{4}BD$．
在Rt△ABD中，AD=2，AB=$2\sqrt{2}$，
∴BD=2$\sqrt{3}$，则BM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故在BD上是否存在一点M，使EM∥面DFC，此时BM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．