Question

【题目】已知数列的前项和为，通项满足（是常数， 且）.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）当时，证明；

（Ⅲ）设函数， ，是否存在正整数，使对都成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）对都成立的正整数存在，其值为1,2,3.

【解析】试题分析：（1）先根据和项与通项关系得项递推关系，再根据等比数列定义以及通项公式求数列的通项公式；（2）根据等比数列前n项和公式得，再证结论（3）先根据对数运算法则化简，再利用裂项相消法求和： ，根据数列单调性确定最小值为2，即得，所以的值为1,2,3

试题解析：（Ⅰ）由题意，得 所以

当时， ，所以

故数列是以为首项，公比为的等比数列

所以

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，

所以

（Ⅲ）因为

所以

所以

所以

欲使，即对都成立

须有

而当时， 随的增大而增大

所以

又为正整数，所以的值为1,2,3

故使对都成立的正整数存在，其值为1,2,3.