【题目】以边长为4的等比三角形的顶点
以及
边的中点
为左、右焦点的椭圆过
两点.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)过点且
轴不垂直的直线
交椭圆于
两点,求证直线
与
的交点在一条直线上.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:
(1)先建立直角坐标系,使椭圆方程为标准方程,则
(2)研究圆锥曲线的定值问题,一般方法为以算代证,即先求两直线交点坐标,再确定交点所在定直线:由对称性可知两直线交点必在垂直于x轴的直线上,因此运算目标为求交点横坐标为定值,设的方程为
,
,则
:
,
:
,消去y得
,再利用直线方程与椭圆方程联立方程组,结合韦达定理可得
,
,代入化简得
试题解析:(1) 由题意可知两焦点为与
,且
,因此椭圆的方程为
. (4分)
(2) ① 当不与
轴重合时,
设的方程为
,且
,
联立椭圆与直线
消去
可得
,即
,
设,
则:
①
:
②
②-①得
则,即
.
②当与
轴重合时,即
的方程为
,即
,
.
即:
①
:
②
联立①和②消去可得
.
综上与
的交点在直线
上.
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【题目】已知椭圆:,点
.
(1)设是椭圆
上任意的一点,
是点
关于坐标原点的对称点,记
,求
的取值范围;
(2)已知点,
,
是椭圆
上在第一象限内的点,记
为经过原点与点
的直线,
为
截直线
所得的线段长,试将
表示成直线
的斜率
的函数.
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【题目】已知O为原点,A,B,C为平面内的三点.求证:
(1) 若A,B,C三点共线,则存在实数α,β,且α+β=1,
(2) 若存在实数α,β,且α+β=1,使得,则A,B,C三点共线.
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【题目】某商品每件成本5元,售价14元,每星期卖出75件.如果降低价格,销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值
(单位:元,
)的平方成正比,已知商品单价降低1元时,一星期多卖出5件.
(1)将一星期的商品销售利润表示成
的函数;
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?
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【题目】如图1,在高为2的梯形中,
,
,
,过
、
分别作
,
,垂足分别为
、
。已知
,将梯形
沿
、
同侧折起,得空间几何体
,如图2。
(1)若,证明:
;
(2)若,证明:
;
(3)在(1),(2)的条件下,求三棱锥的体积。
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