Question

已知f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（2+x）=-f（x），且当x∈[0，1]时在f（x）=-x²+1，若a[f（x）]²-bf（x）+3=0在[-1，5]上有5个根x_i（i=1，2，3，4，5），则x₁+x₂+x₃+x₄+x₅的值为

1. A.
   7
2. B.
   8
3. C.
   9
4. D.
   10

Answer 1

D
分析：确定f（x）是周期为4的函数，f（x）关于（1，0）对称，从而可得f（x）=-1或0＜f（x）＜1．f（x）=-1时，x=2；0＜f（x）＜1时，根据二次函数的对称性可得四个根的和为0+8=8，即可得到结论．
解答：解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）=-x²+1
∴当-1≤x≤0时，0≤-x≤1，f（-x）=（-x）²+1=f（x），
又f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为4的函数，
∵f（x）是偶函数，对任意x∈R，都有f（2+x）=-f（x），∴f（2+x）+f（-x）=0，
以1-x代x，可得f（1+x）+f（1-x）=0，
∴f（x）关于（1，0）对称，f（x）在[-1，5]上的图象如图
∵a[f（x）]²-bf（x）+3=0在[-1，5]上有5个根x_i（i=1，2，3，4，5），
结合函数f（x）的图象可得f（x）=-1或0≤f（x）＜1
当f（x）=-1时，x=2；0＜f（x）＜1时，根据二次函数的对称性可得四个根的和为0+8=8
∴x₁+x₂+x₃+x₄+x₅的值为10
故选D．
点评：本题考查函数性质的研究，考查函数与方程思想，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．