Question

.已知a，b∈R，若关于x的方程x²-ax+b=0的实根x₁和x₂满足-1≤x₁≤1，1≤x₂≤2，则在平面直角坐标系aOb中，点（a，b）所表示的区域内的点P到曲线（a+3）²+（b-2）²=1上的点Q的距离|PQ|的最小值为（　　）

• A、3

  2

  -1
• B、2

  2

  -1
• C、3

  2

  +1
• D、2

  2

  +1

Answer 1

分析：先由根的分布得出关于a，b的方程组，作出方程组对应的区域，即点（a，b）所表示的区域，点P到曲线（a+3）²+（b-2）²=1上的点Q的距离|PQ|的最小值即区域内的点到定点（-3，2）的距离的最小值．由图象判断找出两点中距离最近的点，用两点距离公式求出即可．

解答：解：由题意可得

a+b+1＞0 1-a+b＜0 4-2a+b＞0

其对应的区域如图所示阴影部分，曲线（a+3）²+（b-2）²=1的圆心为（-3，2），此点在直线a+b+1=0上，由于两直线a+b+1=0与1-a+b=0垂直，故圆心与区域边界处的点（0，-1）距离是区域中的点与圆心的距离的最小值，其长度为3

2

，故点（a，b）所表示的区域内的点P到曲线（a+3）²+（b-2）²=1上的点Q的距离|PQ|的最小值为3

2

-1，
故选A．

点评：本题考查简单线性规划，是线性规划求最值的一个变形题---两个动点之间的距离，动中有静，根据圆的几何特征，将两动点之间的距离转化为定点之间的距离．这是数学中常用的转化方法．