Question

设全集U=R，若集合M={y|y=2

2x-x2+3

}，N={x|y=lg

x+3

2-x

}，则（C_UM）∩N=（　　）

A．（-3，2）

B．（-3，0）

C．（-∞，1）∪（4，+∞）

D．（-3，1）

Answer 1

分析：由集合的意义，可得M为函数y=2

2x-x2+3

的值域，N为函数y=lg

x+3

2-x

的定义域；对于M，先求t=2x-x²+3的范围，
再求得0≤

2x-x2+3

≤2，进而可得y=2

2x-x2+3

的值域，即可得集合M，由补集的定义可得C_UM；对于N，由对数函数的定义域可得集合N，由集合的运算计算可得答案．

解答：解：由集合的意义，可得M为函数y=2

2x-x2+3

的值域，
令t=2x-x²+3，t≥0，
由二次函数的性质可得t=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，易得t≤4，
则0≤t≤4，进而可得0≤

2x-x2+3

≤2；
在y=2

2x-x2+3

中，有1≤y≤4；
即M={y|1≤y≤4}，则（C_UM）={y|y＜1或y＞4}；
集合N为函数y=lg

x+3

2-x

的定义域，则

x+3

2-x

＞0，
解可得-3＜x＜2，
即N={x|-3＜x＜2}；
则（C_UM）∩N={x|-3＜x＜1}=（-3，1）；
故选D．

点评：本题借助集合的运算考查指数函数的值域、对数函数的定义域等有关性质，需要熟练掌握指数函数、对数函数的性质．