Question

27、已知：平面α∩平面β=直线a．α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b．
求证：（1）a⊥γ；（2）b⊥γ．

Answer 1

分析：（1）在γ内任取一点P并于γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC，由面面垂直的性质得PM⊥α，PM⊥a； 同理证明PN⊥a，这样a垂直于面γ内的2条相交直线，从而a⊥γ．
（2）通过α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b，利用线面平行的性质定理证明，b∥a，由（1）知a⊥γ，从而证得b⊥γ．

解答：证明：（1）设α∩γ=AB，β∩γ=AC．
在γ内任取一点P并于γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC．
∵γ⊥α，
∴PM⊥α．
而a?α，
∴PM⊥a．
同理PN⊥a．又PM?γ，PN?γ，
∴a⊥γ．
（2）于a上任取点Q，过b与Q作一平面交α于直线a₁，交β于直线a₂．∵b∥α，∴b∥a₁．
同理b∥a₂．∵a₁，a₂同过Q且平行于b，
∵a₁，a₂重合．
又a₁?α，a₂?β，
∴a₁，a₂都是α、β的交线，即都重合于a．∵b∥a₁，∴b∥a．
而a⊥γ，
∴b⊥γ．

点评：本题考查证明线面垂直的证明方法．