Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，BC⊥平面PAB，且PA=P，O是AB的中点，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，BC=1，AB=2，AD=3．
（1）求证：平面PAC⊥平面POC；
（2）若PA=3，Q是PB的中点，求三棱锥Q-OBC与三棱锥P-OCD的体积比．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）因为PA=PB，O为AB的中点，所以PO⊥AB又因为：BC⊥平面PAB，PO?侧面PAB，所以BC⊥PO又因为AB∩BC=B，所以PO⊥底面ABCD，又因为CD?底面ABCD．所以PO⊥CD，在Rt△OBC中，OC²=OB²+BC²=2，在Rt△OAD中，OD²=OA²+AD²=10，在直角梯形ABCD中，CD²=AB²+（AD-BC）²=8，因为：OC²+CD²=OD²所以OC⊥CD
OC，PO是平面POC内的两条相交直线，所以CD⊥平面POC 又因为CD?平面PCD，所以平面PCD⊥平面POC
（2）解：在三棱锥P-OCD中，高PO=

PA2-OA2

=2

2

，由（1）得OC⊥CD，S△=

1

2

CD•OC=2
又因为Q是PB的中点，故三棱锥Q-OBC的高h=

1

2

PO=

2

，S△OBC=

1

2

三棱锥Q-OBC与三棱锥P-OCD的体积比为

1

8

．

解答： （1）证明：因为PA=PB，O为AB的中点，
所以PO⊥AB，
又因为：BC⊥平面PAB，PO?侧面PAB，所以BC⊥PO，
又因为AB∩BC=B，所以PO⊥底面ABCD，
又因为CD?底面ABCD，
所以PO⊥CD，
在Rt△OBC中，OC²=OB²+BC²=2，
在Rt△OAD中，OD²=OA²+AD²=10，
在直角梯形ABCD中，CD²=AB²+（AD-BC）²=8，
因为：OC²+CD²=OD²
所以OC⊥CD，
OC，PO是平面POC内的两条相交直线，
所以CD⊥平面POC 又因为CD?平面PCD，
所以平面PCD⊥平面POC；
（2）解：在三棱锥P-OCD中，高PO=

PA2-OA2

=2

2

，
由（1）得OC⊥CD，
S△=

1

2

CD•OC=2，
又因为Q是PB的中点，故三棱锥Q-OBC的高h=

1

2

PO=

2

，
S△OBC=

1

2

，
三棱锥Q-OBC与三棱锥P-OCD的体积比=

1 2 • 1 3 • 2

1 3 •2•2 2

=

1

8

．
故答案为：（1）略
（2）

1

8

．

点评：本题考查的知识要点：勾股定理的应用，线面垂直的判定，面面垂直的判定，锥体的体积公式的应用及相关的运算问题．